Два математики зі США представили новий доказ проблемної теорії, яка стосується розподілу простих чисел. Проте застосування геометрію навряд чи допоможе довести гіпотезу у реальному світі.
Прості числа - це ті, які діляться тільки на собі і 1, наприклад, 2, 3, 5, 7, 11 тощо. Вони відіграють важливу роль у теорії чисел, криптографії та інших галузях математики.
Найстаріша гіпотеза — це ідея про подвійні прості числа: існує нескінченна кількість пар простих чисел, що знаходяться в двох кроках одна від одної. Наприклад, 3 і 5, 11 і 13, 101 і 103 тощо.
Гіпотеза про підвійні прості числа була запропонована ще у 1849 році, але дотепер ніхто не зміг її довести чи спростувати. Якщо вона виявиться хибною, то це означатиме, що прості числа не розподілені так випадково, як вважається, і що існують якісь сховані закономірності послідовності.
У новій статті, яка була опубликована на сайті arXiv, Вілл Савін з Колумбійського університету та Марк Шустерман з Вісконсинського університету представили новий доказ гіпотези про подвійні прості числа, але не для звичайних цілих чисел, а для поліномів над полями Галуа.
Скінченні поля або поля Галуа- це математичні структури, що містять скінченну кількість елементів, які можна додавати, віднімати, множити та ділити за певними правилами.
Зокрема, можна представити структуру з 13 елементами, які позначаються числами від 0 до 12. У цьому полі арифметичні операції виконуються за модулем 13, тобто залишок від ділення на 13. Так, 3 + 11 = 1, 5 × 7 = 9, 8 ÷ 4 = 2 тощо.
Поліноми - це члени, які складаються зі змінних та коефіцієнтів, наприклад, 4x або 3x + 1x 2 - 4. є парою підвійних простих поліномів над полем із 13 елементами.
Савін і Шустерман використали геометричний підхід, щоб довести, що існує нескінченна кількість пар підвійних простих поліномів над будь-яким скінченним полем. Вони показали, що кожен простий поліном відповідає певній кривій на площині, яка має відповідну симетрію.
Вчені також довели, що якщо два простих поліноми утворюють пару, то їх криві перетинаються в одній точці.
Що ж, оригінальний приклад застосування геометрії до теорії чисел, але має обмежену цінність для загального доведення гіпотези про підвійні прості числа в реальному світі.
Справа в тому, що поліноми над скінченними полями не є аналогами цілих чисел, а лише їх моделями зі своїми відмінностями та особливостями. Тобто в скінченних полях є "дивні" прості числа, які можуть бути розкладені на менші частини, але тільки в певних ситуаціях.
Також на полях Галуа не виконується гіпотеза Рімана , пов'язана з розподілом простих чисел.
Тому дослідники не сподіваються, що їх доказ може бути адаптований для доведення гіпотези про подвійні прості числа для звичайних цілих чисел. Вони вважають, що для цього потрібні інші методи. Необхідно враховувати особливості цілих чисел та їхнього розподілу.
Крім того, доведення чи спростування гіпотези могло б дати великий внесок у розуміння квантової механіки, теорії струн, космології та інші.
