Два математики з США представили новий доказ проблемної теорії, яка стосується розподілу простих чисел. Проте застосування геометрію наврядчи допоможе довести гіпотезу в реальному світі.
Прості числа - це ті, які діляться тільки на себе і 1, наприклад, 2, 3, 5, 7, 11 тощо. Вони відіграють важливу роль у теорії чисел, криптографії та інших галузях математики.
Найстаріша гіпотеза — це ідея про подвійні прості числа: існує нескінченна кількість пар простих чисел, шо знаходяться в двох кроках одна від одної. Наприклад, 3 і 5, 11 і 13, 101 і 103 тощо.
Гіпотеза про подвійні прості числа була запропонована ще у 1849 році, але дотепер ніхто не зміг її довести або спростувати. Якщо вона виявиться хибною, то це означатиме, що прості числа не розподілені так випадково, як вважається, і що існують якісь приховані закономірності послідовності.
У новій статті, яка була опублікована на сайті arXiv, Вілл Савін з Колумбійського університету та Марк Шустерман з Вісконсинського університету представили новий доказ гіпотези про подвійні прості числа, але не для звичайних цілих чисел, а для поліномів над полями Галуа.
Скінченні поля або поля Галуа- це математичні структури, що містять скінченну кількість елементів, які можна додавати, віднімати, множити та ділити за певними правилами.
Зокрема, можна уявити структуру з 13 елементами, які позначаються числами від 0 до 12. У цьому полі арифметичні операції виконуються по модулю 13, тобто залишок від ділення на 13. Так, 3 + 11 = 1, 5 × 7 = 9, 8 ÷ 4 = 2 тощо.
Поліноми - це члени, які складаються зі змінних та коефіцієнтів, наприклад, 4x або 3x + 17x^2 - 4. Поліноми над скінченними полями поводяться подібно до цілих чисел, тобто вони можуть бути простими або складеними, а також утворювати пари з різницею 2. Наприклад, 3x + 17x^2 - 4 та 3x + 17x^2 - 2 є парою подвійних простих поліномів над полем з 13 елементами.
Савін і Шустерман використали геометричний підхід, щоб довести, що існує нескінченна кількість пар подвійних простих поліномів над будь-яким скінченним полем. Вони показали, що кожен простий поліном відповідає певній кривій на площині, яка має відповідну симетрію.
Вчені також довели, що якщо два простих поліноми утворюють пару, то їхні криві перетинаються в одній точці. Нарешті, вони застосували теорему Безу, яка стверджує, що кількість точок перетину двох кривих обмежена їхніми степенями, щоб довести, що існує нескінченна кількість пар подвійних простих поліномів.
Що ж, оригінальний приклад застосування геометрії до теорії чисел, але він має обмежену цінність для загального доведення гіпотези про подвійні прості числа в реальному світі.
Справа в тому, що поліноми над скінченними полями не є аналогами цілих чисел, а тільки їхніми моделями зі своїми відмінностями та особливостями. Тобто у скінченних полях існують "дивні" прості числа, які можуть бути розкладені на менші частини, але тільки в певних ситуаціях.
Також у полях Галуа не виконується гіпотеза Рімана, пов'язаная з розподілом простих чисел.
Тому дослідники не сподіваються, що їхній доказ може бути адаптований для доведення гіпотези про подвійні прості числа для звичайних цілих чисел. Вони вважають, що для цього потрібні інші методи. Необхідно враховувати особливості цілих чисел та їхнього розподілу.
Крім того, доведення або спростування гіпотезимогло б дати великий внесок у розуміння квантової механіки, теорії струн, космології та інші.
