"Нескінченність! Жодне питання не чинило настільки глибокого впливу на людський дух, жодна ідея не стимулювала настільки плідно інтелект людини, і тим не менше жодне поняття не потребує прояснення так сильно, як поняття нескінченності" ...
"Необхідно усвідомити, що нескінченність позбавлена наочного змісту і без докладнішого дослідження позбавлена будь-якого змісту, тому що існує лише те, що є скінченним. Не існує нескінченно великої швидкості, так само як і сили або дії, що нескінченно швидко поширюється. До того ж дія за своєю природою дискретна й існує тільки квантами.
Не існує нічого континуального, суцільного, нескінченно подільного. Навіть світло має корпускулярну, атомістичну структуру, як і дія. Наш Всесвіт, на моє глибоке переконання, має лише кінцеву протяжність, і астрономи коли-небудь повідомлять нам, на скільки кілометрів простягається світовий простір у довжину, висоту і ширину. І хоча в реальних випадках трапляються дуже великі числа, наприклад відстані до зірок у кілометрах, або кількість потенційно можливих істотно різних шахових партій, проте нескінченність, оскільки вона являє собою заперечення того стану, що домінує всюди, є дивовижною абстракцією, яку можна реалізувати тільки шляхом свідомого або несвідомого застосування аксіоматичних методів. " Д.Гілберт.
У серпні 1900 року видатний німецький математик Давид Гільберт виступив з історичною доповіддю на Міжнародному конгресі математиків у Парижі і запропонував 23 основні математичні задачі, головним чином для створення логічної основи без протиріч, а також побудованої на простій системі аксіом.
З огляду на видатні досягнення цієї наукової галузі, таке завдання, здавалося б, не представляє особливих труднощів, але рік потому британський логік Бертран Рассел виявив нерозв'язне протиріччя про класифікацію множин, теорію Ріше.
Суперечності, що стрясають основи математичної логіки, розв'язуються тільки введенням нових аксіом. Але 1931 року Курт Гьодель опублікував статтю, в якій продемонстрував, що математика ніколи не може бути логічно досконалою.
По-перше, завжди є теореми, які не можна ні довести, ні спростувати.
По-друге, несуперечливість теорії не можна довести формальними методами. (Була колись проста очевидна на перший погляд теорема, яка доводить нескінченність ряду натуральних чисел, що, своєю чергою, символізує поняття нескінченності (за Кантором) - приблизно так:
"Якщо взяти N - кінцеве число послідовностей натуральних чисел (1,2,3,...,N.), вам потрібно тільки додати 1 до числа N, щоб довести, що N не є кінцевим числом натуральних чисел. Такі дії можуть продовжуватися безперервно, доводячи природну нескінченність ряду".
Але доказ тут явно помилковий. Твердження: "довільний", "безперервний", "постійний" і подібні мовні форми є семантичними синонімами поняття нескінченності і тому не можуть використовуватися для доведення цього поняття.
Ба більше, якщо в початкових умовах теореми передбачається кінцеве число N, то воно поширюється і на число арифметичних операцій. Так, число N не є кінцевим натуральним числом, але кінцеве число операцій над кінцевим числом елементів завжди закінчиться іншим, обов'язково кінцевим числом М, хоча воно і набагато більше.За правильного формулювання ця теорема швидше відкине поняття нескінченності, ніж доведе його.)
Спочатку всім здавалося, що теорія неповноти Гьоделя зачіпає якусь далеку, незвідану територію математики, але 1963 року математик Пол Коен зробив блокбастерну доповідь:
Йому вдалося довести, що одне з основних понять математики - нерозв'язність концепції континууму! ... (Як не згадати слова Парменіда, який стверджував, що поняття нескінченності та руху буття хибні, бо призводять до нерозв'язних логічних суперечностей).
Начебто нічого страшного не відбувається, тому що недоведеність континуум-гіпотези її не спростовує, але з платонівської концепції математичні сутності, як і ідеї Платона, повинні існувати об'єктивно (наприклад, як логічні можливості), а отже, всі їхні властивості мають бути однозначно визначені.
Але це якраз і повністю суперечить теоремі Гьоделя. У загальноприйнятій філософії математики, що здавалася непорушною з часів Платона, раптом з'явилися тріщини... уже у 18-му і 90-му століттях Гаусс, Лобачевський, Ріман, Лоренц, Пуанкаре, Мінковський, інші дослідники, як-от Гьодель, переосмислили роль і характер багатьох понять нескінченності.
Німецький математик, логік і філософ Фреге (G. Frege, 1848-1925) з метою визначення заснування математики висунув ідею суворо формалізувати математичні міркування абстрактними методами, взявши сутність математики як неінтерпретовану (формальні системи). Цю ідею підтримували багато математиків, починаючи з Гільберта...
Спроби створити несуперечливу математичну основу у XX столітті зазнали невдачі, що викликало серйозні сумніви щодо її безпомилковості та невразливості як основного інструменту пізнання навколишнього світу, породжуючи настрої скептицизму й нігілізму, чимось схожі на настрої V ст. до нашої ери.
Епоха софістики. Здається, що філософія математики, колись обрана як єдино можлива, зайшла в глухий кут. Дедалі частіше розглядаються прагматичні пропозиції відмови від строгих доказів на користь кінцевих практичних результатів обчислень як бажаних значень або прийняти такі пропозиції, наприклад, як повні перерахунки можливих варіантів розв'язання задачі на ЕОМ. Ось кілька цитат відомих математиків:
"Буйне, таке, що погано вміщається в будь-які рамки, неймовірно різноманітне в цілях і методах, - чи можна сподіватися описати, хоч і стисло, але водночас із достатнім охопленням англо-американське підприємство? Відповідь на це питання - неможливо. Настільки багато філософів творять у наш час, настільки багато проблем піднято ними, і тому повнота більше не видається розумною амбіцією." Дж. Пассмор.
"У XX столітті найточніша з точних наук зазнала перелому, який принципово змінює характер одержуваних у ній результатів. ... Математика зіткнулася з проблемою практично непереборної складності доказів. Рішення важливої задачі, що формулюється в кількох реченнях, може займати десятки тисяч сторінок, що фактично унеможливлює повний запис і розуміння.
В 1875 році кожна людина, здібна до математики, могла за кілька місяців повністю розібратися в доведенні більшості відомих теорем. До 1975 року більшість математиків ще могла повністю зрозуміти доказ будь-якої доведеної теореми.
До 2075 року багато галузей чистої математики залежатимуть від теорем, які не розуміє ніхто з математиків - ні індивідуально, ні колективно. ... Звичайною справою стане формальна верифікація складних доказів, але при цьому буде багато результатів, визнання яких ґрунтуватиметься на соціальному консенсусі не меншою мірою, ніж на суворому доказі...
Подібно до інженерів, математики стануть говорити не про тверде знання, а про ступінь впевненості в надійності своїх результатів. Це може зблизити математику з іншими дисциплінами і, можливо, призведе до зняття філософського питання про особливий онтологічний статус математичних об'єктів...". Брайан Девіс "Куди йде математика?"
"Найчастіше немає сенсу філософствувати з приводу математики, шукаючи в ній прихований сенс. Усе, що є в математиці, - це діяльність математиків, які працюють, і пошуки філософів з приводу того, що таке математика, не мають стосунку до діяльності математиків. Філософія тут бере хибний слід... Працюючий математик увесь тиждень усвідомлює себе формалістом, і лише в неділю - платоністом." Р.Херш.
"Філософія пішла хибним шляхом, асоціювавши себе з математикою. Філософія, подібно до математики, спирається на аргументацію, оскільки обидві науки використовують логіку. Але на відміну від загальноприйнятих стандартів у математиків стандарти аргументації у філософів виявилися вельми різними. Стосунки філософії та богині Розуму завжди були скоріше стосунками вимушеного співжиття, ніж стосунками романтичного зв'язку, що завжди існував між математикою та богинею Розуму. ...
Висновки філософів часто диктуються емоціями і розум у цих висновках відіграє лише допоміжну роль. А пошуки філософією остаточної відповіді на свої питання вилилася в рабську імітацію математики. Апеляція до математичної логіки, яка і являє собою головну основу філософії математики, виявилася неспроможною, тому що логіка більше не є частиною філософії. Математична логіка є процвітаючою частиною математики, і вона припинила свої зв'язки з основами математики. Ціною допущення логіки в математичну область було гігієнічне очищення навіть від слідів філософії"."" Ж.К.Рота.
"Деякі з найглибших проблем філософії полягають у примиренні природних, але несумісних онтологій. Ніде такий конфлікт не є настільки старим, як у філософії математики. Платон героїчно намагався знайти правдоподібну епістемологію для своєї теорії форм.
Платонізм правдоподібний, коли ви мислите про математичну істину, але стає неможливим, коли йдеться про математичне пізнання. Тож варто переосмислити основні проблеми теорії пізнання, якщо причинність, холізм і натуралізована епістемологія посіли місце чуттєвих даних та аналітичності. Нашим інтелектуальним обов'язком є прогрес не просто в математичній логіці, а й в епістемології "В.Гарт.
"Якщо математика являє собою дослідження об'єктивних ідеальних сутностей і якщо когнітивні здібності людини дають їй змогу пізнавати тільки чуттєві об'єкти, то як вона може пізнавати математичні об'єкти? ...Дилема ставить перед нами вибір: або заперечувати, що математика говорить про числа, або припускати певні неприродні здібності людини щодо збирання інформації." П.Бенацерраф.
За повною аналогією з розвитком більш ранньої епохи софістики тільки поява нового Демокріта та іншої філософії може розв'язати проблеми, що виникли, причому недостатньо зачепити не тільки внутрішні проблеми математики, а й світоглядні проблеми, аспекти гуманітарних і природничих наук.
Але чому цього недостатньо? У 1973 р. чеський математик П. Вопенка запропонував до розгляду альтернативну теорію множин (АСТ), суть якої полягає у зміні класичного погляду на поняття нескінченності в математиці. Ідея авторів нової теорії полягає в тому, щоб визнати альтернативну нескінченність умовним, нескінченно кінцевим постулатом!
Як наочний приклад це можна було б уподібнити якомусь горизонту, який природним чином обмежує наш світогляд.
Горизонт не є нерухомою або нездоланною межею, він не має певного положення - він дедалі віддаляється від нас у міру нашого наближення до нього, але, хоч би як ми старалися, вийти за нього неможливо.
Можна сказати, що горизонт - це тимчасова зупинка, яка завжди обмежує наше бачення і обмежує наше розуміння чого-небудь. Прийняття теорії "природної нескінченності" як принципу умовних меж, що зупиняються під час розгляду математичних процесів, розв'язує майже всі проблеми теорії множин і усуває суперечності в більшості логічних парадоксів.
Блискуча ідея П. Вопенки сьогодні вважається однією з найбільш багатообіцяючих теорій, але все це, здається, сталося 2500 років тому. Чи мають рацію ще Левкіпп і Демокріт, адже введення допущення дискретності або умовної скінченності (теоретично нескінченності) поділу і є їхня ідея! ?
(Нагадаю, що, за Арістотелем, платоніки теж розглядали введення подібних припущень у геометрію!) Однак чи можна примирити в рамках однієї філософії два протилежні значення понять - нескінченності та кінцевості чого-небудь?
Чи не викличе це нову хвилю суперечок? Звичайно, нескінченність є абсолютно ідеалізованим і абстрактним поняттям у математиці, тому що не має зв'язку з реальним фізичним світом, але багато математиків вважають, що якщо теорія трохи скомпрометує принцип, то це не призведе до занадто великого впливу, замість того, щоб приймати поняття "нескінченний розмір (малий)" - поняття "нескінченний розмір (малий)" або, наприклад, "довільний розмір (малий)", що має на увазі двояке значення, зокрема кінцеву кількість (роль).
Або, наприклад, прийняття диференціала жодною мірою не шкодить ні теорії, ні практиці, навпаки, узаконює поняття інтеграції.
Третій шлях, прийнятий і, можливо, прийнятний іншими галузями науки, називається визнанням. Дуалізм знання, що допускає паралельне використання підходів, які, здавалося б, суперечать один одному, з рівними правами.
Прояв цього дуалістичного ефекту від самого початку закладено в нашу свідому структуру самою природою у вигляді двох половинок головного мозку, відповідальних: одна за просторові метафори, інша - за логічне мовне сприйняття навколишнього світу, що визначає сам розумовий процес.
Суть - це абстрактна уява і логічний аналіз. Таким чином, тисячолітні філософські питання про те, що є фундаментальним і істинним: логіка або інтуїція, досвід або здогад - зазвичай хибні, тому що не варто всерйоз сперечатися, якій півкулі мозку можна довіряти більшою мірою.
В принципі, відмінності між теоріями Парменіда і Геракліта лише відносні. Дилема Зенона спочатку показує, що неможливо відокремити вимір простору від виміру часу. Але річ у тім, що модель світогляду Парменіда і його послідовників розміщувала спостерігача всередину розглянутої системи, тож час і простір перебували в синхронізації, що давало змогу розв'язувати реальні математичні задачі в реальному світі просто і логічно.
Прихильник теорії Геракліта стверджує, що світ постає нібито побаченим ззовні, для спостерігача, який вимірює у своїй власній системі відліку, з поправкою (як відомо, її задає обумовлене перетворенням Лоренца). Але точка зору Геракліта не визначена, а тому дає лише загальне, теоретичне уявлення про об'єкт системи, що розглядається, а отже, така теорія використовує невизначені поняття, наприклад нескінченність.
З іншого боку, Демокріт пропонує певний компроміс (інваріантність) - введення, хоча й зовнішніх щодо системи, якихось нерухомих точок спостереження (опорних точок) для зовнішніх спостерігачів, що дають змогу повністю, дискретно розглядати ці об'єкти уважно, комбінуючи теорію з практикою.
Тому мені здається, що немає сенсу сперечатися про те, які математичні теорії є істинними, а які правомірними, оскільки вони є невід'ємними і необхідними елементами єдиного комплексу знань.
Ще один цікавий приклад дуалізму двох теорій, що проявився в математиці: у 19 столітті Лобачевський, усвідомивши недоведеність гіпотези про паралельність двох прямих, встановив незвичну геометрію, в якій існує безліч прямих, що проходять через точку, паралелізм до якої вирішено, а, як відомо, нова геометрія приводить до згоди!
Але найцікавіше, що припущення Лобачевського про множину паралельних прямих можливе тільки в тому разі, якщо допускається кінцевість - для нескінченної площини всі ці прямі, крім двох, мають перетинатися. Так яка справжня геометрія нашого світу? ...
Звісно, на цьому етапі не можна вводити атомарну геометрію Демокріта, головним чином через те, що вже (або ще) незрозуміло, як ця геометрія розв'язує проблему кривих (неподільних відрізків, дійсного диференціала)? ) або, наприклад, ірраціональне? Хоча відомо, що і піфагорійці, і Демокріт якимось чином вирішували ці проблеми, у них явно був свій погляд на геометрію світу, принципово відмінний від евклідівського.
Наступним після нього [Фалеса], хто віддався заняттям геометрією, переказ називає Мамерка, брата поета Стесіхора: Після них Піфагор перетворив заняття геометрією на вільну дисципліну, вивчаючи її вищі підвалини та розглядаючи теореми in abstracto [власне, "у відволіканні від матерії"] та ноетично. Він же відкрив теорію ірраціональних і конструкцію космічних фігур [=правильних багатогранників]. ЯМВЛІХ. Про піфагорійське життя, 246:
Як повідомляють, до того, хто першим відкрив негідним посвяти у вчення природу співвимірності та неспівмірності, [піфагорійці] перейнялися такою ненавистю та огидою, що не тільки вигнали його зі свого товариства, а й спорудили йому гробницю на знак того, що вони вважають, нібито їхній колишній товариш пішов із життя... Дехто ж стверджував, що це трапилося з тим, хто розголосив вчення про ірраціональність і неспівмірність. ЕЛІАС, CAG 18, 1. с. 125 Busse:
Піфагореєць опублікував працю "Про лінії ірраціональності" тільки для того, щоб зазнати краху через розкриття таємниці. Але, незважаючи на це, історія завершила свій кругообіг і створила всі передумови для ретроспективного розгляду думки минулого.
Зрозуміло, що розкидані залишки атомної теорії мало знадобляться тепер сучасній математиці, якби в принципі стільки ж волі й зусиль було спрямовано на їхнє відновлення й опрацювання, наприклад, на підтвердження поняття нескінченності в математиці.
Гіпотетичне рішення Антифона могло виявити трансцендентні числа у вигляді формул (кінцевих рядів) шляхом піднесення до квадрата запропонованого вище кола (абсолютно незаконного з погляду сучасної математики) - невже лише малу частину першого матеріалізму Стародавньої Греції загубило християнське знання? Хто знає, можливо, коли-небудь альтернативна математика займе гідне місце серед різноманітних підходів до пізнання.
