Такі числа, як пі, е і фі, часто використовуються в наукових статтях, особливо у фізиці та математиці. Трикутник Паскаля і послідовність Фібоначчі також здаються незрозуміло поширеними в природі.
А ще є дзета-функція Рімана, оманливо проста функція, яка спантеличує математиків з 19 століття.
Мабуть, вона є найбільш "дивним" питанням у математиці. Нагадаємо, Математичний інститут Клея пропонує приз в 1 мільйон доларів за правильний доказ цієї гіпотези.
Однак фізик з Університету Санта-Барбари Грант Реммен заявив, що в нього є новий підхід до вивчення примх дзета-функції. Він знайшов аналог, який переводить багато важливих властивостей функції у квантову теорію поля.
Це означає, що дослідники тепер можуть скористатися інструментами фізики для вивчення всюдисущої дзета-функції. Його робота може навіть призвести до доведення гіпотези Рімана. Реммен виклав свій підхід у журналі Physical Review Letters.
Квантова теорія поля крізь призму дзета-функції Рімана
Реммен зазвичай не працює над вирішенням найбільших питань у математиці. Він - фізик. Будучи постдокторантом в Університеті Санта-Барбари, основний час він приділяє таким фундаментальним темам, як фізика частинок, квантова гравітація, теорія струн і чорні діри.
Одна з його спеціалізацій - квантова теорія поля, яку він називає "тріумфом фізики 20-го століття".
Більшість людей чули про квантову механіку (субатомні частинки, невизначеність тощо) і спеціальну теорію відносності (уповільнення часу, E=mc2 тощо). Але об'єднати обидві теорії поки що не вдається. Учений сподівається, що такою інтегруючою моделлю стане квантова теорія поля (КТП).
На його думку, КТП - це не зовсім єдина теорія. Це скоріше набір інструментів, які вчені можуть використовувати для опису будь-якого набору взаємодій, зокрема частинок.
Реммен стверджує, що одне з понять КТП має багато спільних рис із дзета-функцією Рімана. Йдеться про амплітуду розсіювання; вона кодує квантовомеханічну ймовірність того, що частинки будуть взаємодіяти одна з одною.
Амплітуди розсіювання добре працюють із комплексними числами. Ці числа складаються з дійсної та уявної частини - кратної √-1, яку математики називають i. Амплітуди розсіювання мають аналітичні властивості в комплексній площині, наприклад, можуть бути виражені у вигляді ряду навколо кожної точки, за винятком обраного набору полюсів, які всі лежать уздовж лінії.
Що, своєю чергою, нагадує нулі дзета-функції Рімана, які також лежать на одній прямій. Однак незрозуміло, чи є це удаваною схожістю, чи чи чимось реальним.
Полюси амплітуди розсіювання відповідають фізичним подіям - народженню частинок з імпульсом. Значення кожного полюса відповідає масі створеної частинки.
Тому було необхідно знайти функцію, яка поводиться як амплітуда розсіювання і полюси, що відповідають нетривіальним нулям дзета-функції.
Оманлива простота дзета-функції
Озброївшись ручкою, папером і комп'ютером для перевірки результатів, Реммен взявся за роботу над створенням функції, що має всі необхідні властивості. Ідея полягає у зв'язуванні дзета-функції Рімана з амплітудами.
За своєю суттю, дзета-функція узагальнює гармонійний ряд, який роздувається до нескінченності при x ≤ 1, але сходиться до дійсного числа при кожному x > 1.
У 1859 році Бернхард Ріман захотів розглянути, що станеться, якщо x буде комплексним числом. Функція, яка тепер носить його ім'я, приймає одне комплексне число і видає інше.
Завдяки теоремі з комплексного аналізу, математики знають, що існує тільки одне формулювання, прийнятне для властивостей вихідної функції. На жаль, ніхто не зміг представити її у формі з кінцевим числом членів, що є частиною таємниці, що оточує цю функцію.
Амплітуда розсіювання і теорія Реммена
Амплітуда розсіювання, яку знайшов Реммен, описує дві безмасові частинки, що взаємодіють шляхом обміну нескінченним набором масивних частинок, по одній за раз. Функція має полюс - точку, де не може бути виражена у вигляді ряду - відповідно до маси кожної проміжної частинки. Нескінченні полюси збігаються з нетривіальними нулями дзета-функції Рімана.
Те, що побудував Реммен, є провідною компонентою взаємодії. Існує нескінченно багато таких компонентів, кожен з яких враховує все менші й менші аспекти взаємодії, описуючи процеси, що включають обмін кількома масивними частинками одночасно. Ці "амплітуди на рівні петель" стануть предметом майбутньої роботи.
Гіпотеза Рімана стверджує, що всі нетривіальні нулі дзета-функції мають речову компоненту ½. Переведемо це в модель Реммена:
усі полюси амплітуди - дійсні числа.
Це означає, що якщо хтось зможе довести, що його функція описує послідовну КТП, а саме, таку, де маси є дійсними, а не уявними числами, то гіпотезу Рімана буде доведено.
Це формулювання переносить гіпотезу Рімана в ще одну галузь науки, наприклад, у неінтуїтивні математичні тотожності, пов'язані з дзета-функцією.
Теорія Реммена слідує традиції іншого фізика, Габріеле Венеціано. Останній 1968 року інтерпретував бета-функцію Ейлера як амплітуду розсіювання. Саме це математичного рішення заклало основи теорії струн.
За матеріалами Університету Санта-Барбари, Калифорнія
