Такі числа, як пі, е і фі, часто використовують у наукових статтях, особливо у фізиці та математиці. Трикутник Паскаля і послідовність Фібоначчі також здаються незрозуміло поширеними у природі.
А ще є дзета-функція Рімана , оманливо проста функція, яка спантелічує математиків з 19 століття.
Мабуть, вона є найдивовижнішим питанням у математиці. Нагадаємо, Математичний інститут Клею пропонує приз у 1 мільён доларів за правильне доказ цієї гіпотези.
Однак фізик з Університету Санта-Барбарі Грант Реммен заявив, що у нього є новий підхід до вивчення примх дзета-функції. Він знайшов аналог, який переводить багато важливих властивостей функції у квантову теорію поля.
Це означає, що дослідники тепер можуть скористатися інструментами фізики для вивчення всюдисущої дзета-функції. Його робота може навіть призвести до доведення гіпотези Рімана. Реммен виклав свій підхід у журналі Physical Review Letters.
Квантова теорія поля крізь призму дзета-функції Рімана
Реммен зазвичай не працює над вирішенням найбільших питань у математиці. Він – фізик. Будучи постдокторантом в Університеті Санта-Барбарі, основну годину він приділяє таким фундаментальним темам, як фізика частинок, квантова гравітація, теорія струн та чорні діри.
Одна з його спеціалізацій - квантова теорія поля, яку він називає "тріумфом фізики 20-го століття".
Більшість людей чули про квантову механіку (субатомні частинки, невизначеність тощо) та спеціальну теорію відносності (уповільнення часу, E=mc2 тощо). Але об'єднати обидві теорії поки що не вдається. Учень сподівається, що такою інтегруючою моделлю стане квантова теорія поля (КТП).
На його думку, КТП – це не зовсім єдина теорія. Це швидше набір інструментів, які вчені можуть використовувати для опису будь-якого набору взаємодій, зокрема частинок.
Реммен стверджує, що одне з зрозуміти КТП має багато спільних рис із дзета-функцією Рімана. Ідеться про амплітуду розсіювання; вона кодує квантовомеханічну ймовірність того, що частинки будуть взаємодіяти одна з одною.
Амплитуди розсіювання добре працюють із комплексними числами. Ці числа складаються з дійсної та уявної частини - кратної -1, яку математики називають i. Амплитуди розсіювання мають аналітичні властивості у комплексній плоскості, наприклад, можуть бути виражені у вигляді ряду навколо кожної точки, за винятком обраного набору полюсів, які всі лежать вдоль лінії.
Що, в свою чергу, нагадує нулі дзета-функції Рімана, які також лежать на одній прямій. Однак незрозуміло, чи це є удаваною схожістю, чи чимось реальним.
Полюси амплітуди розсіювання відповідають фізичним подіям - народженню частинок з імпульсом.
Тому було необхідно знайти функцію, яка поводиться як амплітуда розсіювання і полюси, що відповідають нетривіальним нулям дзета-функції.
Оманлива простота дзета-функції
Озброївшись ручкою, папером та комп'ютером для перевірки результатів, Реммен взявся за роботу над створенням функції, що має всі необхідні властивості. Ідея полягає у зв'язуванні дзета-функції Рімана з амплітудами.
За своєю суттю, дзета-функція узагальнює гармонійний ряд, який роздувається до нескінченності за x ≤ 1, але сходиться до дійсного числа за шкірного x > 1.
У 1859 році Бернхард Ріман захотів розглянути, що станеться, якщо x буде комплексним числом. Функція, яка тепер має його ім'я, приймає одне комплексне число і видає інше.
Завдяки теоремі з комплексного аналізу, математики знають, що існує тільки одна формулювання, прийнятна для властивостей вихідної функції. На жаль, ніхто не зміг представити її у формі з кінцевим числом членів, що є частиною таємниці, що оточує цю функцію.
Амплітуда розсіювання і теорія Реммена
Амплітуда розсіювання, яку знайшов Реммен, описує дві безмасові частинки, що взаємодіють шляхом обміну нескінченним набором масивних частинок, по одній за раз. Функція має полюс - точку, де не може бути виражена у вигляді ряду - відповідно до маси кожної проміжної частинки. Нескінчені полюси збігаються з нетривіальними нулями дзета-функції Рімана.
Те, що побудував Реммен, є провідною компонентою взаємодії. Існує нескінченно багато таких компонентів, кожен з яких враховує всі менші та менші аспекти взаємодії, описуючи процеси, що включають обмін кількома масивними частинками одночасно. Ці "амплітуди на рівні петель" стануть предметом майбутньої роботи.
Гіпотеза Рімана стверджує, що всі нетривіальні нулі дзета-функції мають мовну компоненту ½. Перекладемо це в модель Реммена:
всі полюси амплітуди - дійсні числа.
Це означає, що якщо хтось зможе довести, що його функція описує послідовну КТП, а саме таку, де маси є дійсними, а не ворожими числами, то гіпотезу Рімана буде доведено.
Це формулювання переносити гіпотезу Рімана до ще однієї галузі науки, наприклад, у неінтуїтивні математичні тотожності, пов'язані з дзета-функцією.
Теорія Реммена слідує традиції іншого фізика, Габрієле Венеціано. Останній 1968 року інтерпретував бета-функцію Ейлера як амплітуду розсіювання. Саме це математичне рішення заклало основи теорії струн.
За матеріалами Університету Санта-Барбарі, Каліфорнія
