Петльова квантова гравітація - це теорія, витоки якої сягають 1986 року. Тоді математик Амітаба Сен і фізик Абхай Аштекар працювали над новим формулюванням загальної теорії відносності, використовуючи нові математичні змінні, які вони назвали "зв'язками".
Символи Крістоффеля (коефіцієнти координатного виразу афінної зв'язності, що використовуються в рівняннях поля Ейнштейна та коваріантній похідній), які фактично замінюють гравітацію Ньютона на геометричний опис гравітації, з математичної точки зору є шуканим зв'язком.
В аштекарському формулюванні ЗТВ польовою змінною є вже не метрика, а так званий самодуальний зв'язок (він відрізняється від символів Крістоффеля). Відтоді їх також називають змінними Аштекара.
Того ж 1986 року Тед Якобсон і Лі Смолін переформулювали рівняння Вілера - Де Вітта в категоріях нових змінних. Вони знайшли клас точних розв'язків цих рівнянь: петлі Вільсона.
Далі було введено поняття голономія - це термін, що використовується для позначення паралельного розповсюджувача (оператора голономії), тобто оператора, який здійснює паралельне перенесення контексту, вектора або тензора вздовж замкнутої кривої простору-часу. Математично це проявляється в рімановому різноманітті.
Голономія задовольняє певним математичним властивостям, насамперед, вона утворює математичну групу - групу голономій. Тепер слід оператора голономії (сума діагональних елементів, якщо оператор представлений у вигляді матриці) має особливий сенс.
Слід, пов'язаний з певним шляхом через простір-час, слугує для визначення фізичних величин, які переносяться паралельно під час поширення частинки цим шляхом через простір-час.
Як приклад, нехай електрон рухається через простір-час. Використовуючи паралельний пропагатор, можна вивчити, як змінюється спостережуваний спін. Кривизна простору-часу повертає вектор спіна в міру його руху по замкнутій кривій.
Якщо ми тепер обчислимо слід пов'язаного паралельного пропагатора, ми знайдемо міру того, як змінився спостережуваний спін. Вимоги до кривих полягають у тому, що вони мають бути "гладкими" і не повинні мати жодних перетинів. Слід оператора голономії інваріантний і є петлею Вільсона.
Петлі Вільсона виявилися природними основними змінними під час розгляду квантової теорії як калібрувальної теорії; вони дали змогу сформулювати квантову хромодинаміку (теорія Янга-Міллса, решіткова калібрувальна теорія).
Таким чином, калібрувальні теорії отримали глибоку геометричну інтерпретацію. Цей формалізм також успішно застосовується в петльовій квантовій гравітації і дав назву концепції. Тобто вільсонівські петлі зв'язку Аштекара вирішують переформульоване рівняння Вілера - Де Вітта.
У 1987 році Карло Ровеллі та Лі Смолін використовували петлі Вільсона як нові основні стани окремого гільбертового простору квантової гравітації. Фізичні величини (спостереження) представляються базою петель. Гільбертовий простір петель можна краще зрозуміти в порівнянні з квантовою системою гармонійного осцилятора квантової механіки.
У разі гармонійного осцилятора спочатку виходять з оператора Гамільтона (гамільтоніана). Він містить спостережувані імпульс і місце розташування як оператори.
Після чого формулюється проблема власних значень цієї квантової системи, розв'язання якої надає власні значення енергії гамільтоніана та стани (власні функції, хвильові функції).
Таким чином, дискретний спектр оператора знайдено. Рівні енергії сусідніх власних станів у гармонійному осциляторі відрізняються на один квант осцилятора (віброн), що має дискретну енергію, яка відповідає добутку кванта дії Планка і частоти осцилятора.
За допомогою натурального числа n можна параметризувати дискретний спектр. Основний стан, вакуумний стан гармонійного осцилятора, має тільки n = 0 і дає кінцеве власне значення енергії, вакуумну енергію гармонійного осцилятора.
У n-му власному стані міститься всього n квантів осцилятора.
У польовій теорії електродинаміки, QED, яка формулюється аналогічним чином, такі частинки називаються фотонами. Квантування електромагнітного поля, однак, набагато складніше у своїх деталях, ніж квантова механіка гармонійного осцилятора (зокрема через процедуру перенормування).
Теорія Гамільтона-Якобі, що вже практикується в класичній механіці, може бути використана для знаходження форми гамільтоніана LQG. Метод LQG в основному слідує описаній концепції квантової механіки (якщо отримано відповідний гамільтоніан), але також враховує закони загальної відносності.
Таким чином, можна зайти так далеко, що локальний вимір довжин, площ і об'ємів еквівалентний вимірюванню локальних властивостей гравітаційного поля. Тобто об'єм у LQG виявляється оператором об'єму, який є нелінійною функцією гравітаційного поля або метрики.
Спектр цього оператора дискретний; об'єм простору квантується в квантах об'єму, аналогічно описаному вище гармонійному осцилятору. Це незвідні елементи простору, що займають об'єм 10^-99 кубічних сантиметрів (планківська довжина в ступені 3).
Результуюча зернистість простору-часу в масштабі Планка є важливим результатом петльової квантової гравітації, її було виявлено 1992 року. Таким чином, LQG описує дрібномасштабну структуру простору-часу і проектує релятивістську космологію на мікроскопічний масштаб.
Розмір зерна іноді описується терміном "піна простору-часу". Цей результат LQG різко контрастує з терміном "простір-час-континуум" теорії відносності: простір-час виявляється перервним або дискретним на малих квантових масштабах.
Тепер між сусідніми об'ємами простору існує спільна область із певною площею поверхні. Ця площа також залежить від гравітаційного поля і квантується, як і об'єм, а саме в квантах площі. Їхня протяжність дорівнює квадрату планківської довжини, тобто 10^-66 квадратних сантиметрів.
Таким чином, поверхня Землі складається з 10^85 площ. У загальному вигляді можна скрізь уявити квантовий стан, який складається з n об'ємних квантів, у вигляді вузлового графа.
Галузь математики, яка займається цим напрямком, називається теорією графів. Вузли просто відповідають квантам об'єму; сусідні кванти об'єму "з'єднані" квантами площі.
Теоретики називають щойно описану структуру спіновою мережею. Цим утворенням можна присвоїти квантові числа, які наразі асоціюються з квантами об'єму і площі. Будь-які обсяги можуть бути представлені у вигляді складних спінових мереж. У спінових мережах мають значення тільки квантові числа і відносні зв'язки. Вони містять інформацію про квантований простір.
Відкриття спінових мереж стало важливим кроком у теорії (Rovelli & Smolin 1995). Однак термін "спінова мережа" було введено ще 1971 року британським релятивістом і математиком Роджером Пенроузом із наміром розглядати різноманіття (у теорії відносності - просторові простори) з комбінаторної точки зору.
До того, як спінові мережі знайшли свій шлях у LQG, петлі та мультипетлі (стан із багатьох петель, які також можуть перетинатися) використовували як основні стани для гільбертового простору.
Спінові мережі являють собою нову, ортонормальну основу. Вони мають обчислювальні переваги перед станами петель. Так, стани спінових мереж діагоналізують оператор площі та об'єму, що робить їх більш "математично зручними".
Цей підхід не враховує кривизну простору. Крім того, він нехтує часовою координатою (а вона взагалі потрібна?), яка (в альтернативній теорії) утворює мережевий континуум із трьома напрямками простору. Те, з чим ми маємо справу загальної теорії відносності.
Утім, більшість теоретиків припускає, що спіновим мережам має бути дозволено розвиватися в часі.
Яким чином? Наприклад, під час цього розвитку вузли спінової мережі зникають, з'являються нові, виникають нові зв'язки і розчиняються старі. Така структура називається спіновою піною.
Завдяки часовому розвитку, вузли спінових мереж стають лініями в спіновій піні, а лінії в спіновій мережі трансформуються в поверхні в спінової піни.
Час також квантується у фундаментальних одиницях Планка, тобто в "пакетах часу" по 10^-43 секунди. Таким чином, час не є горезвісним безперервним потоком, а скоріше можна порівняти з цоканням годинника.
Під час цих "стрибків часу" форма спінової мережі змінюється дуже різко, миттєво. Цей розвиток стає помітним, коли спінова піна розпадається вздовж осі часу на спінові мережі. З кожним квантом часу спінова мережа реформується.
Іншими словами: скрізь, де знову утворюється спінова мережа, локальний годинник цокає один раз!
Зрештою, цю дивну властивість було введено в теорію як вимогу. Вона називається фоновою незалежністю і є найважливішою властивістю квантової гравітації.
Історично теорія була передбачена ЗТВ і малася на увазі при описі коваріантної гравітації. Геометрія простору-часу в теорії відносності динамічна; фон не статичний, а змінюється під впливом рухомих мас і енергій.
Інший аспект незалежності фону полягає в тому, що вибір системи координат є вільним. Це випливає з принципу коваріації, оскільки тензори ЗТВ не залежать від координат.
Математично цю властивість можна узагальнити з незалежністю теорії "переміщень" на різноманітті. У загальному випадку правила відображення в математиці називають морфізмами. Вони є предметом теорії категорій.
Незалежність від фону математично називається дифеоморфізмом-інваріантністю. Дифеоморфізм - це відображення, яке просто призводить до зміщення на різноманітті.
Однак, незважаючи на цей зсув, фізика не повинна змінюватися: так диктує загальна теорія відносності.
Якщо абстрагувати дві спінові мережі як графи, то вони можуть бути переведені одна в одну за допомогою дифеоморфізму.
Дифеоморфізм-інваріантність тепер стверджує, що ці дві спінові мережі калібрувально еквівалентні, описують одну й ту саму фізику.
Спінова мережа знаходиться не в просторі-часі, а сама є простором-часом!