Порушення симетрії — найбільш дивовижне відкриття сучасної теоретичної фізики з часів Другої світової війни. Фактично ми отримали центральну ідею квантової фізики загалом і теорії квантового поля зокрема.
Щоб зрозуміти, що таке симетрія і порушення симетрії у фізиці, візьмімо приклад з магнетизму. Саме тут вперше була запропонована ідея симетрії: в 3-вимірному феромагнетику, такому як залізо, спіни зовнішніх електронів більшості атомів вирівняні в одному напрямку. Таке вирівнювання створює магнітне поле, яке прекрасно вимірюється.
Якщо злиток розплавленого заліза повільно охолоджувати в присутності зовнішнього магнітного поля, він намагнічується. Більшість спінів атомів заліза вирівнюються в певному напрямку - напрямку зовнішнього магнітного поля - і створюють внутрішнє магнітне поле.
У цей момент, вмикаючи зовнішнє поле, ми залишаємо поле внутрішнє. Тобто виникає порушення симетрії.
Оскільки магнітні імпульси можуть бути спрямовані у будь-якому напрямку, вирівнювання спінів означає, що обертальна симетрія - порушена. Таке порушення призводить до зменшення свободи всієї системи.
Водночас спонтанне порушення неперервної симетрії має деякі наслідки через теорему Голдстоуна. А саме: якщо неперервна симетрія системи спонтанно порушується, то з'являється безмасова і безспінова частинка. Вона називається бозоном Голдстоуна.
У випадку залізного магніту бозон Голдстоуна проявляється у вигляді довгохвильового коливання, спінової хвилі. Оскільки довжина спінової хвилі прямує до нескінченності, припускається існування бозона Голдстоуна (?).
За законом Планка, коли довжина хвилі квантового об'єкта прямує до нескінченності, його енергія наближається до нуля. Отже, маса бозона Ґолдстоуна наближається до нуля.
Крім того, ідея спонтанного порушення симетрії набуває дуже важливого значення у випадку теорії квантового поля.
Візьмемо для прикладу квантову електродинаміку (КЕД). У КЕД існує локальна калібрувальна симетрія, яка є невід'ємною частиною теорії. Локальна калібрувальна симетрія трактується в контексті обертальної симетрії в кожній точці простору-часу, на якому визначена КЕД.
Отже, U(1) калібрувальна інваріантна КЕД, визначена на (3+1) вимірному просторі-часі, має обертальну симетрію в кожній точці простору-часу. Всі квантові поля в теорії - інваріантні відносно обертання у 2-вимірній площині таким чином, що вісь обертання залишається фіксованою і спрямованою в одному напрямку.
Відомо, що калібрувальна симетрія релятивістської інваріантної КЕД не порушується спонтанно в природі. Але калібрувальна симетрія нерелятивістської інваріантної КЕД порушується всередині матеріалу, який зазнає фазового переходу до надпровідної фази.
Таке порушення симетрії дуже відрізняється від порушення симетрії у вакуумі, яке, своєю чергою, призводить до генерації бозона Гіґґса. Тут, на відміну від бозона Гіггса, причина порушення симетрії зрозуміла. Вона опосередкована теорією Бардіна-Купера-Шріффера конденсатом куперівських пар. Кожна куперівська пара складається з 2 електронів з протилежними спінами, а сумарний спін пари дорівнює нулю - кожна куперівська пара виходить як бозон з нульовим спіном або скаляр.
Цей тип спонтанного порушення симетрії називається динамічним порушенням симетрії - порушення симетрії опосередковується конденсатом - складеним польовим оператором з ненульовим значенням вакуумного очікування.
Після порушення симетрії квантове поле вже не інваріантне у заданій точці простору-часу відносно обертання у 2-вимірному просторі з фіксованою віссю обертання. Тепер група симетрії зводиться до значно більшої групи, відомої як Z2, яка містить лише 2 точки.
Іншими словами, квантове поле тепер інваріантне до повороту на 180 градусів у площині. Порушення калібрувальної симетрії означає, що калібрувальний заряд, який переноситься електроном, стає невизначеним.
До порушення симетрії кожен електрон несе точно одиничний кулонівський заряд, але після порушення симетрії він не є точно одиничним - кулонівський заряд на електроні стає делокалізованим.
Зауважте: порушення калібрувальної симетрії U(1) не пов'язане з появою додаткового поля Гіґґса. Порушення калібрувальної симетрії генерує бозон Ґолдстоуна, який проявляється у вигляді осциляцій параметра надпровідного порядку. Аналог спінових хвиль у магніті.
Тільки перенормована релятивістські інваріантне квантове поле зі спонтанно порушеною неабелевою калібрувальною симетрією призводить до поля Гіґґса. Неабелева калібрувальна симетрія є також обертальною інваріантністю у будь-якій точці простору-часу.
Але в такому випадку добуток 2 послідовних обертань - некомутативний. Це означає, що порядок 2 обертань має значення - якщо A і B є 2 послідовними обертаннями, то AB не дорівнює BA.
Подібна незначна технічна відмінність має глибокі наслідки в природі. Електрослабка теорія дає єдиний опис електромагнетизму і слабких ядерних сил. Калібрувальна група цієї теорії має вигляд SU(2)XU(1). Таким чином, кожне квантове поле в теорії інваріантне відносно добутку 2 обертань - обертання у 3-вимірному просторі з фіксованою віссю обертання та обертання у 2-вимірному просторі з фіксованою віссю обертання. Симетрія SU(2) не є абелевою, і тому добуток симетрій SU(2) та U(1) також не є абелевим.
Коли енергія падає нижче енергії Фермі (246 ГеВ), ця калібрувальна симетрія спонтанно порушується. Порушення симетрії призводить до появи нового квантового поля, тобто поля Гіґґса. У електрослабкій теорії це поле вводиться "вручну" і призводить до порушення симетрії.
Але енергія Фермі поля Гіґґса набуває ненульового вакуумного очікування на калібрувальній групі SU(2), що розриває калібрувальну групу. Після порушення симетрії електрослабка сила розділяється на 2 сектори. 3 бозони Ґолдстоуна, що відповідають 3 генераторам калібрувальної групи SU(2), поглинаються 3 калібрувальними бозонами - Z0, W+ і W-.
До порушення симетрії всі 3 калібрувальні бозони були безмасові, але, поглинаючи по 1 бозону Ґолдстоуна, всі 3 стають дуже масивними.
Маса W-бозона становить 70 ГеВ, а маса Z-бозона - 90 ГеВ. Ці маси узгоджуються з електрослабкою шкалою. Частинки формують слабку взаємодію і належать до сектора порушеної калібрувальної симетрії SU(2). Через їхні величезні маси діапазон слабкої сили дуже малий - порядку кількох атомних метрів.
Інший сектор сили — електромагнітні калібрування. Оскільки калібрувальна симетрія U(1) залишається незмінною, калібрувальний бозон системи (фотон) залишається безмасивним після спонтанного порушення електрослабкої симетрії. Ось чому діапазон дії електромагнітної сили нескінченний.
Згідно з нашим сучасним розумінням генерації маси ферміонної елементарної частинки, приєднання поля Гіггса - четвертого компонента складного дублета Гіггса - до елементарної частинки надає їй ненульову масу.
Всі лептони та кварки отримують власну масу завдяки цьому зв'язку, відомому як зв'язок Юкави, разом із само-взаємодією, що визначається групою перенормування з власними калібрувальними полями.
Разом вони визначають масу частинки - чим сильніший зв'язок плюс само-взаємодія, тим більша маса. Тому маса топ-кварка значно перевищує масу електрона — майже в 300000 разів.
Одне з ключових передбачень теорії квантового поля - створення частинок. Всі елементарні частинки є квантованими збудженнями відповідних квантових полів. Квантоване збудження поля Гіггса називається бозоном Гіггса, який був відкритий у 2012 році в ЦЕРНі. Він має масу близько 126 ГеВ і відповідає енергії електрослабкої взаємодії.
Що таке локальна калібрувальна симетрія U(1) та SU(2)?
Усі закони природи формулюються і пояснюються за допомогою симетрії. Симетрія - це вид інваріантності (консервативності - енергії, імпульсу, заряду тощо), те, що не змінюється при виконанні певних перетворень.
Наприклад, точки на сфері S2∈R2 інваріантні до перетворень -> кут повороту. Точки, що знаходяться "поруч", залишаються "поруч" навіть після перетворень.
Поворот сфери на набір малих кутів або на "великий" кут не змінює цього факту. Математично ці кути повороту можна сформувати як групу.
У стандартній моделі фізики елементарних частинок у кожній точці простору-часу існує вектор, який дає повне уявлення (величину і напрямок) полів (наприклад, для магнітного поля, електричного поля тощо).
У теорії квантового поля нас цікавить динаміка (лагранжіан) - "швидкість зміни" таких полів. Але якою має бути наша система відліку для вимірювання цієї швидкості зміни? Адже представлення поля змінюються залежно від обраного шляху, від початкової та кінцевої точок тощо.
Отже, ми штучно формуємо набір правил, які спрощують нам життя у вимірюванні цих змін, а також дають змогу їх "порівнювати".
Справа в тому, що існує одне єдине правило (еталонне поле), а точніше набір правил (група полів), з власною динамікою. Вони об'єднані в теорію калібрування. З огляду на це, науковці вивчають неоднозначності, а точніше симетрії, пов'язані з ними.
Наразі відомі чотири типи симетрії (вздовж двох "вимірів"):
- 1a. Локальна - незалежні перетворення в кожній точці
- 1b. Глобальна - перетворення не змінюються взагалі
- 2a. Просторово-часові - симетрії, що діють на просторово-часові координати
- 2b. Внутрішні - внутрішні симетрії (не залежать від координат)
Математично, в теорії калібрування, ці симетрії можуть бути представлені множиною (групою) унітарних матриць, позначених U(n) або множиною (групою) спеціальних унітарних матриць - з одиничним визначником, позначеним SU(n). Тут n - розмірність/вимірність матриць.
Найпростішою групою внутрішньої симетрії є U(1). Геометрично, це обертальна симетрія кола - кола, повернутого на кут у тривимірному просторі.
Отже, SU(1) - це множина матриць 1 x 1 - група симетрії для електромагнітних взаємодій (ферміони діють як синглети). Наприклад, взаємодія фотона (калібрувального бозона без маси) з електроном.
Аналогічно, SU(2) є обертальною симетрією сфери - набором матриць 2 x 2 з одиничним визначником. Вони моделюють слабку ядерну взаємодію - між парою ферміонів (наприклад, електроном і нейтрино) і набором з трьох бозонів: Z і W (+,-)
В той же час SU(3) для сильних ядерних сил - між 8 бозонами (глюонами) і набором з трьох ферміонів (наприклад, червоним, зеленим і синім кварками).
