Комплексні числа

Комплексні числа - це розширення поля дійсних чисел, що включає в себе уявну одиницю i, яка володіє властивістю i^2 = -1.

Структура:

Будь-яке комплексне число може бути представлене у вигляді z = a + bi, де:

• a- дійсна частина
• b- уявна частина
• i- уявна одиниця

Візуалізація:

Комплексні числа можна візуалізувати на комплексній площині, де дійсна частина відкладається на осі абсцис, а уявна - на осі ординат.

Операції:

• Додавання/віднімання:здійснюються покомпонентно,додаючи/віднімаючи дійсні та уявні частини окремо.
• Множення:(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
• Ділення:(a + bi)/(c + di) = ((ac + bd)/(c^2 + d^2)) + ((bc - ad)/(c^2 + d^2))i

Важливі властивості:

• Множина комплексних чисел є алгебрично замкнутою,тобто будь-яке многочлен з комплексними коефіцієнтами має коріння в цій множині.
• Модуль комплексного числа z = |a + bi| = √(a^2 + b^2).
• Тригонометрична форма комплексного числа:z = |z|(cos(θ) + i sin(θ)),де θ - аргумент комплексного числа.

Використовується для:

• Квантова механіка: опису поведінки квантових систем.
• Електроніка:аналізу ланцюгів змінного струму.
• Теорія чисел:розв'язання задач теорії чисел.
• Фрактальна геометрія: генерування фрактальних зображень.